Teorema de transporte de Reynolds

O teorema de transporte de Reynolds é o teorema fundamental utilizado na formulação das leis básicas da dinâmica dos fluidos, que são a equação da conservação de massa (ou equação da continuidade), as equações de conservação de quantidade de movimento e a equação de conservação de energia. Na física e na engenharia, essas leis são conhecidas, respectivamente, como: lei da conservação da massa, segunda lei de Newton e leis da Termodinâmica.

O teorema de transporte de Reynolds se refere à taxa de variação de uma propriedade extensiva, N, de um fluido em um volume de controle, que é expressa em termos da derivada material. Seu propósito é fornecer uma ligação entre os conceitos relacionados com os volumes de controles àqueles relacionados com sistemas.^[1]^[2]

Forma geral[editar | editar código-fonte]

{\frac {DN_{sis}}{Dt}}=\int _{vc}^{}{\frac {\partial }{\partial t}}(\rho \eta )dV+\int _{sc}^{}\rho \eta {\vec {\upsilon }}_{s}\cdot {\widehat {n}}dA+\int _{sc}^{}\rho \eta {\vec {\upsilon }}_{f}\cdot {\widehat {n}}dA

X

\left(\alpha _{0}mc^{2}+\sum _{{j=1}}^{3}\alpha _{j}p_{j}\,c\right)\psi ({\mathbf {x}},t)=i\hbar {\frac {\partial \psi }{\partial t}}({\mathbf {x}},t)

onde η é uma propriedade intensiva relacionada com a propriedade extensiva N (N por unidade de massa) por

N=m*\eta

, t é o tempo, vc se refere ao volume de controle, sc se refere a superfície de controle, ρ é a massa específica do fluido, V é o volume,

\upsilon _{s}

é a velocidade da superfície de controle,

\upsilon _{f}

é a velocidade do fluido em relação a superfície de controle, n é o vetor normal ao elemento de área, e A é a área.

Conservação da massa[editar | editar código-fonte]

Um sistema é definido como uma quantidade fixa de material. Assim, o princípio de conservação da massa para um sistema pode ser estabelecido por:

{\frac {DM_{sis}}{Dt}}=0

X

\left(\alpha _{0}mc^{2}+\sum _{{j=1}}^{3}\alpha _{j}p_{j}\,c\right)\psi ({\mathbf {x}},t)=i\hbar {\frac {\partial \psi }{\partial t}}({\mathbf {x}},t)

A massa do sistema pode ser representada por:

M_{sis}=\int _{sis}\rho d\upsilon

X

\left(\alpha _{0}mc^{2}+\sum _{{j=1}}^{3}\alpha _{j}p_{j}\,c\right)\psi ({\mathbf {x}},t)=i\hbar {\frac {\partial \psi }{\partial t}}({\mathbf {x}},t)

Onde N foi substituído pela massa. No caso η é igual a 1.

0=\;\int _{c.v.}^{}{\frac {\partial \rho }{\partial t}}dV+\int _{c.s.}^{}\rho {\vec {v}}_{b}\cdot {\widehat {n}}\;dA+\int _{c.s.}^{}\rho {\vec {v}}_{r}\cdot {\widehat {n}}\;dA

X

\left(\alpha _{0}mc^{2}+\sum _{{j=1}}^{3}\alpha _{j}p_{j}\,c\right)\psi ({\mathbf {x}},t)=i\hbar {\frac {\partial \psi }{\partial t}}({\mathbf {x}},t)

Todas as variáveis são definidas em sua formulação geral. M é igual a massa total do volume de controle. Aplicando o princípio de conservação da massa, o lado esquerdo da equação geral se reduz a 0, uma vez que a massa do sistema não varia no tempo. Em sistemas operando em regime permanente, o primeiro termo do lado direito da equação se reduz a zero, i.e. a massa do volume de controle não muda, o que implica que a massa que entra no volume de controle à igual a massa que sai.

Equação do movimento[editar | editar código-fonte]

A equação do movimento é obtida substituindo N pela quantidade de movimento. Para tanto, η é definido como sendo a velocidade.

De acordo com a segunda lei de Newton, relembramos que a força é a variação temporal da quantidade de movimento. Então:

\sum _{}{\vec {F}}=\int _{c.v.}^{}{\frac {\partial }{\partial t}}(\rho {\vec {\upsilon }})dV+\int _{c.s.}^{}\rho {\vec {\upsilon }}({\vec {\upsilon }}_{b}\cdot {\widehat {n}})dA+\int _{c.s.}^{}\rho {\vec {\upsilon }}({\vec {\upsilon }}_{r}\cdot {\widehat {n}})dA,

X

\left(\alpha _{0}mc^{2}+\sum _{{j=1}}^{3}\alpha _{j}p_{j}\,c\right)\psi ({\mathbf {x}},t)=i\hbar {\frac {\partial \psi }{\partial t}}({\mathbf {x}},t)

onde F é a força,

\upsilon

é a velocidade do fluido no sistema de coordenadas em que está a superfície de controle e todas as outras variáveis já foram definidas na formulação geral. Note que trata-se de uma equação vetorial.

Equação da energia[editar | editar código-fonte]

A equação da energia pode ser obtida substituindo N pela energia. Pra isso, η é definido como sendo a energia por unidade de massa.

{\dot {Q}}-\sum {}{\dot {W}}=\int _{c.v.}^{}{\frac {\partial }{\partial t}}\left[\rho \left({\frac {\upsilon ^{2}}{2}}+gz+{\tilde {u}}\right)\right]dV+\int _{c.s.}^{}\left[{\frac {\upsilon ^{2}}{2}}+gz+{\tilde {u}}+{\frac {p}{\rho }}\ \right]\rho {\vec {\upsilon }}_{b}\cdot {\widehat {n}}dA+\int _{c.s.}^{}\left[{\frac {\upsilon ^{2}}{2}}+gz+{\tilde {u}}+{\frac {p}{\rho }}\ \right]\rho {\vec {\upsilon }}_{r}\cdot {\widehat {n}}dA

X

FUNÇÃO FUNDAMENTAL E GERAL DE GRACELI.

TRANSFORMAÇÕES ⇔ INTERAÇÕES ⇔ TUNELAMENTO ⇔ EMARANHAMENTO ⇔ CONDUTIVIDADE ⇔ DIFRAÇÕES ⇔ radioatividade, ABSORÇÕES E EMISSÕES INTERNA ⇔ Δ de temperatura e dinâmicas, transições de estados quântico Δ ENERGIAS, ⇔ Δ MASSA , ⇔ Δ CAMADAS ORBITAIS , ⇔ Δ FENÔMENOS , ⇔ Δ DINÂMICAS, ⇔ Δ VALÊNCIAS, ⇔ Δ BANDAS, Δ entropia e de entalpia, E OUTROS.

x

\left(\alpha _{0}mc^{2}+\sum _{{j=1}}^{3}\alpha _{j}p_{j}\,c\right)\psi ({\mathbf {x}},t)=i\hbar {\frac {\partial \psi }{\partial t}}({\mathbf {x}},t)

[EQUAÇÃO DE DIRAC].

\Delta U={\frac {3}{2}}nR(T_{f}-T_{i})

+ FUNÇÃO TÉRMICA.

N=N_{{o}}.e^{{-\lambda .t}}

+ FUNÇÃO DE RADIOATIVIDADE

T=e^{-2bL}

,

b={\sqrt {\frac {8\pi ^{2}m(Ub-E)}{h^{2}}}}

\Delta S=S_{2}-S_{1}=\int _{1}^{2}{\frac {\delta Q}{T}}

+ ENTROPIA REVERSÍVEL

+

\sigma =q(n\mu _{n}+p\mu _{p})[\Omega .cm]^{{-1}}

FUNÇÃO DE CONDUÇÃO ELETROMAGNÉTICA

E_{p}={\sqrt {{\frac {\hbar c^{5}}{G}}}}\approx

ENERGIA DE PLANCK

X

$V [R] [MA] = Δ e, M, Δ f, Δ E, Δ t, Δ i, Δ T, Δ C, Δ E, Δ A, Δ D, Δ M......$

ΤDCG

X

Δe, ΔM, Δf, ΔE, Δt, Δi, ΔT, ΔC, ΔE,ΔA, ΔD, ΔM...... =
x
sistema de dez dimensões de Graceli +
DIMENSÕES EXTRAS DO SISTEMA DECADIMENSIONAL E CATEGORIAL GRACELI.
DIMENSÕES DE FASES DE ESTADOS DE TRANSIÇÕES DE GRACELI.
x

sistema de transições de estados, e estados de Graceli, fluxos aleatórios quântico, potencial entrópico e de entalpia.

x
TEMPO ESPECÍFICO E FENOMÊNICO DE GRACELI
X
T l   T l    E l      Fl        dfG l

N l   El             tf l

P l   Ml           tfefel

Ta l   Rl

         Ll

D

onde Q é o calor adicionado ao volume de controle, W é o trabalho mecânico realizado pelo sistema, g é a aceleração devido à gravidade, z é uma distancia vertical arbitrária,

{\tilde {u}}

é a energia interna específica do fluido, p é a pressão. Todas as outras variáveis já foram definidas na formulação geral.

Note que a equação não faz nenhuma consideração a reações químicas ou energia potencial associada a campos eletromagnéticos.

Volume de controle fixo[editar | editar código-fonte]

Para o caso particular de um volume de controle fixo,

\upsilon _{s}=0

temos que:

{\frac {DN_{sis}}{Dt}}=\int _{vc}^{}{\frac {\partial }{\partial t}}(\rho \eta )dV+\int _{sc}^{}\rho \eta {\vec {\upsilon }}_{f}\cdot {\widehat {n}}dA

X

FUNÇÃO FUNDAMENTAL E GERAL DE GRACELI.

TRANSFORMAÇÕES ⇔ INTERAÇÕES ⇔ TUNELAMENTO ⇔ EMARANHAMENTO ⇔ CONDUTIVIDADE ⇔ DIFRAÇÕES ⇔ radioatividade, ABSORÇÕES E EMISSÕES INTERNA ⇔ Δ de temperatura e dinâmicas, transições de estados quântico Δ ENERGIAS, ⇔ Δ MASSA , ⇔ Δ CAMADAS ORBITAIS , ⇔ Δ FENÔMENOS , ⇔ Δ DINÂMICAS, ⇔ Δ VALÊNCIAS, ⇔ Δ BANDAS, Δ entropia e de entalpia, E OUTROS.

x

\left(\alpha _{0}mc^{2}+\sum _{{j=1}}^{3}\alpha _{j}p_{j}\,c\right)\psi ({\mathbf {x}},t)=i\hbar {\frac {\partial \psi }{\partial t}}({\mathbf {x}},t)

[EQUAÇÃO DE DIRAC].

\Delta U={\frac {3}{2}}nR(T_{f}-T_{i})

+ FUNÇÃO TÉRMICA.

N=N_{{o}}.e^{{-\lambda .t}}

+ FUNÇÃO DE RADIOATIVIDADE

T=e^{-2bL}

,

b={\sqrt {\frac {8\pi ^{2}m(Ub-E)}{h^{2}}}}

\Delta S=S_{2}-S_{1}=\int _{1}^{2}{\frac {\delta Q}{T}}

+ ENTROPIA REVERSÍVEL

+

\sigma =q(n\mu _{n}+p\mu _{p})[\Omega .cm]^{{-1}}

FUNÇÃO DE CONDUÇÃO ELETROMAGNÉTICA

E_{p}={\sqrt {{\frac {\hbar c^{5}}{G}}}}\approx

ENERGIA DE PLANCK

X

$V [R] [MA] = Δ e, M, Δ f, Δ E, Δ t, Δ i, Δ T, Δ C, Δ E, Δ A, Δ D, Δ M......$

ΤDCG

X

Δe, ΔM, Δf, ΔE, Δt, Δi, ΔT, ΔC, ΔE,ΔA, ΔD, ΔM...... =
x
sistema de dez dimensões de Graceli +
DIMENSÕES EXTRAS DO SISTEMA DECADIMENSIONAL E CATEGORIAL GRACELI.
DIMENSÕES DE FASES DE ESTADOS DE TRANSIÇÕES DE GRACELI.
x

sistema de transições de estados, e estados de Graceli, fluxos aleatórios quântico, potencial entrópico e de entalpia.

x
TEMPO ESPECÍFICO E FENOMÊNICO DE GRACELI
X
T l   T l    E l      Fl        dfG l

N l   El             tf l

P l   Ml           tfefel

Ta l   Rl

         Ll

D

Escoamento em regime permanente[editar | editar código-fonte]

No caso de regime permanente e volume fixo temos:

{\frac {\partial }{\partial t}}\int _{vc}(\rho \eta )dV=0

X

\left(\alpha _{0}mc^{2}+\sum _{{j=1}}^{3}\alpha _{j}p_{j}\,c\right)\psi ({\mathbf {x}},t)=i\hbar {\frac {\partial \psi }{\partial t}}({\mathbf {x}},t)

Então

{\frac {DN_{sis}}{Dt}}=\int _{sc}(\rho \eta ){\vec {\upsilon }}_{f}\cdot {\widehat {n}}dA

X

\left(\alpha _{0}mc^{2}+\sum _{{j=1}}^{3}\alpha _{j}p_{j}\,c\right)\psi ({\mathbf {x}},t)=i\hbar {\frac {\partial \psi }{\partial t}}({\mathbf {x}},t)

Para que exista variação da quantidade de

N_{sis}

associada ao sistema é necessário existir uma diferença entre a taxa com que

N

é transportada para dentro do volume de controle e a taxa com que

N

é transportada para fora do volume de controle.

O lado direito da equação representa a vazão líquida da propriedade no volume de controle. Se N representa a massa,

\eta =1

, então

\int _{sc}(\rho ){\vec {\upsilon }}_{f}\cdot {\widehat {n}}dA=\sum {\dot {m_{s}}}-\sum {\dot {m_{e}}}

X

\left(\alpha _{0}mc^{2}+\sum _{{j=1}}^{3}\alpha _{j}p_{j}\,c\right)\psi ({\mathbf {x}},t)=i\hbar {\frac {\partial \psi }{\partial t}}({\mathbf {x}},t)

onde

{\dot {m}}

é a vazão em massa (kg/s). Note que existe uma taxa de transferência de massa para fora do volume de controle se a integral do lado esquerdo for positiva. Se, no entanto, o valor da integral for negativo a taxa de transferência de massa ocorre para dentro do volume de controle.

Finalmente escrevemos:

{\frac {DM_{sis}}{Dt}}=\sum {\dot {m_{s}}}-\sum {\dot {m_{e}}}

X

[1]

[2]

Impedância térmica no SDCTI GRACELI -CADEIAS DE INTERAÇÕES E DIMENS. FENOM.

terça-feira, 10 de setembro de 2019

Definição física[editar | editar código-fonte]

Em circuitos elétricos e eletrônicos[editar | editar código-fonte]